Tikz 3D - La "curva cúbica torcida" (twisted cubic)

Como menciona Joe Harris en su libro “Algebraic Geometry: A First Course”, la curva llamada la Twisted Cubic es “el primer ejemplo de todos de una variedad concreta que no es una hipersuperficie, un espacio lineal o un conjunto finito de puntos”.

En el espacio afín, está dado por la imagen de $$t\mapsto(t,t^2,t^3).$$

Mientras solucionaba todos los ejercicios del libro (¡todavía estoy en esas!), decidí que quería hacer una figura de Tikz de la curva para aprender a hacer figuras 3D con Tikz.

Un par de días más tarde terminé con el siguiente código, ¡del que estoy realmente orgulloso! Me estoy convirtiendo en un gran fan de Tikz.

Lo que realmente disfruto del código es lo fácil que es de leer: cada bloque tiene un propósito específico, e incluso si uno no conoce los detalles de $\LaTeX$, o el paquete Tikz, es fácil adivinar lo que está sucediendo.

\documentclass[border=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.17}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[ scale=0.8
, view={235}{15} % {rotation angle}{elevation angle}
, xlabel=$x$
, ylabel=$y$
, zlabel=$z$
, zmin=-8
, zmax=8
]

% Parabola and cubic shadow curves
\addplot3%
[ samples=40
, samples y=0
, thick 
, cyan 
, domain=-2:2
, variable=\t
] ({t},{t^2},{-8});

\addplot3%
[ samples=40
, samples y=0
, thick
, red 
, domain=-2:2
, variable=\t
] ({t},{-1},{t^3});

%  Lines
%  (pgfplots cannot handle a \foreach commands inside the {axis} environment, so the draw commands need to have the foreach inside of them. See also pgfplotsinvokeforeach._

\draw [cyan] foreach \a in {-2,-1.9,...,2} {
({\a}, {(\a)^2}, {(\a)^3}) --  ({\a}, {(\a)^2}, -8)
};

\draw [red] foreach \a in {-2,-1.9,...,2} {
({\a}, {(\a)^2}, {(\a)^3}) -- ({\a}, -1, {(\a)^3})
};

% Twisted cubic
\addplot3%
[ samples=51
, samples y=0
, thick
, black 
, domain=-2:2
, variable=\t
] ({t},{t^2},{t^3});

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Y, por supuesto, ¡también disfuto la figura muy bonita que crea!

Note que si se llama a las coordenadas 3D $(x,y,z)$, entonces la sombra en el plano $(x,y)$ del Twisted Cubic es la parábola $y=x^2$: $$t\mapsto(x,y)=(t,t^2).$$ Esta parábola es claramente visible en la figura (¡a propósito!).

Lo mismo sucede con la sombra en el plano $(x,z)$ que es la curva cúbica $z=x^3$.

Volviendo al código, esta es una parte que me gusta mucho, ¡es casi como si estuviera escrito en inglés!

\draw [cyan] foreach \a in {-2,-1.9,...,2} {
({\a}, {(\a)^2}, {(\a)^3}) --  ({\a}, {(\a)^2}, -8)
};

Dice “dibuja, en color cian, para cada a entre -2 y 2 en pasos de 0.1, la línea (…) — (…) entre los puntos. ¡Esas son las líneas verticales azules en la figura!