Objetivos de aprendizaje
- Usar diagramas de área para explorar estrategias basadas en propiedades de la multiplicación.
Subsección Lección 10 - Exploremos estrategias de multiplicación con rectángulos
Estándares CCSS asociados.
3.MD.C.7.c, 3.OA.C.7
Momentos de la lección.
Subsubsección Calentamiento (10 mins)
Subsubsección Actividad 1 (20 mins)
Subsubsección Actividad 2 (15 mins)
Subsubsección Síntesis de la lección (10 mins)
Preguntas de comprensión Actividad de cierre (5 mins)
Propósito de la lección.
El propósito de esta lección es que los estudiantes utilicen diagramas de área para explorar estrategias de multiplicación basadas en propiedades de las operaciones.
Materiales.
-
Actividad 1
- Rectángulo para colorear. Una copia para cada estudiante. En el libro de trabajo, o descarga para imprimir
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external/act-pdf/act-deDiagramasAExpresiones.pdf
-
Actividad 2
- Copia rayable de la actividad. Una copia para cada estudiante. En el libro de trabajo, o descarga para imprimir
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external/act-pdf/act-deExpresionesADiagramas.pdf - Lápices de colores, crayones o marcadores.
Narrativa de la lección.
En lecciones anteriores, los estudiantes examinaron patrones en la tabla de multiplicar y los utilizaron para encontrar productos hasta 100 y para observar propiedades de la multiplicación, en particular la propiedad conmutativa. En esta lección, analizan estrategias para encontrar el área de rectángulos, y así explorar la propiedad distributiva y la asociativa. Estudian rectángulos con cuadrículas que se descompusieron en partes más pequeñas y expresiones que representan cómo la descomposición puede ayudarnos a encontrar su área. Los estudiantes ven cómo las estrategias, junto con los diagramas y las expresiones que los representan, pueden ayudarnos a encontrar el producto de dos números.
Al dar sentido a las expresiones e interpretarlas en términos de partes de los diagramas de área, los estudiantes practican el razonamiento cuantitativo y abstracto.
Preguntas de reflexión.
Piense en las veces que observó a los estudiantes escuchando las ideas de sus compañeros hoy en clase. ¿Qué normas pueden ayudar a los estudiantes a prestar mejor atención a las ideas de sus compañeros en futuras lecciones?
Subsubsección Calentamiento (10 mins)
Tiempo recomendado.
10 minutos
Narrativa.
El propósito de esta actividad es que los estudiantes utilicen estrategias de agrupamiento para describir las cantidades que ven.
Lanzamiento.
- Grupos de 2
- “¿Cuántos ven? ¿Cómo lo saben?, ¿qué ven?”
- Muestre rápidamente la imagen.
- 30 segundos: tiempo para pensar en silencio
Desarrollo de la actividad.
- Muestre la imagen.
- “Discutan con su compañero cómo pensaron”
- 1 minuto: discusión en pareja
- Registre las respuestas.
- Repita para cada imagen.
- Mantenga las imágenes visibles para el inicio de la próxima actividad.
Calentamiento 40. Cuántos ves: Cuadrados.
¿Cuántos ves?
¿Cómo lo sabes?, ¿qué ves?
¿Cómo lo sabes?, ¿qué ves?
Solución.
- 16 cuadrados: Veo 4 grupos de 4. Veo 4 columnas y 2 grupos de 2 en cada columna. Veo \(2 \times 4\) o 8 cuadrados azules y \(2 \times 4\) o 8 cuadrados blancos.
- 24 cuadrados: Veo 2 grupos de 12. Veo 4 filas con 6 en cada fila.
- 18 cuadrados: Veo 5 columnas de 3 y luego 1 columna más de 3. Veo 6 grupos de 3.
Síntesis de la actividad.
- “¿Cómo podemos usar las cantidades que vemos rápidamente para encontrar el número total de cuadrados?”
-
Considere preguntar:
- “¿Alguien puede expresar con otras palabras la forma en la que vio los cuadrados?”
- “¿Alguien vio los cuadrados de la misma forma, pero lo explicaría de otra manera?”
- “¿Alguien quiere compartir otra observación acerca de la forma en la que vio los cuadrados?”
Subsubsección Actividad 1 (20 mins)
Tiempo recomendado.
20 minutos
Narrativa.
El propósito de esta actividad es que los estudiantes analicen diferentes formas de descomponer un rectángulo con cuadrícula para encontrar el número total de cuadrados en el mismo. Por ejemplo, ven que el área de un rectángulo que mide 3 unidades por 6 unidades se puede encontrar sumando \(3 \times 5\) y \(3 \times 1\) y relacionar esa estrategia con la expresión \((3 \times 5) + (3 \times 1)\text{.}\) El área también se puede encontrar descomponiendo el rectángulo en dos mitades y encontrar el doble de \(3 \times 3\text{,}\) que se representa como \(2 \times (3 \times 3)\text{.}\)
Este razonamiento permite a los estudiantes dar sentido visualmente a estrategias para multiplicar que se basan en las propiedades asociativas y distributivas de la multiplicación. El enfoque no está en mencionar las propiedades, sino en interpretar las expresiones y relacionarlas con las cantidades en los diagramas (MP7).
Materiales.
- Rectángulo para colorear. Una copia para cada estudiante. En el libro de trabajo, o descarga para imprimir
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external/act-pdf/act-deDiagramasAExpresiones.pdf
Lanzamiento.
- Grupos de 2
- Muestre el primer problema.
- “Tómense un minuto para entender cómo Andre y Elena encontraron el área de un rectángulo”
- 1 minuto: tiempo para pensar en silencio
Desarrollo de la actividad.
- “Discutan con su compañero en qué se parecen y en qué se diferencian las estrategias de Andre y Elena. También discutan cómo se relacionan los números de cada una de sus expresiones con sus diagramas”
- 5–7 minutos: tiempo de trabajo en parejas
- Comparta las respuestas.
- “Resuelvan el segundo problema con su compañero”
- 3–5 minutos: tiempo de trabajo en parejas
Desarrollo lenguaje: MLR2 Recolectar y mostrar
- Recorra el salón, escuche y recopile las formas como los estudiantes descomponen el rectángulo y el lenguaje que usan para describir las estrategias que utilizaron. Preste atención a: "descompuesto", "partes más pequeñas", "rectángulos más pequeños", "\(2 \times 2 \times 9\text{,}\) \(2 \times 18\text{,}\) \(4 \times 5 + 4 \times 4\) y \(5 \times 4 + 4 \times 4\)".
- Registre los diagramas, palabras y frases de los estudiantes en un póster y actualícelo a lo largo de la lección.
Actividad 41. De diagramas a expresiones.
Andre y Elena están hallando el área de este rectángulo.
Andre escribe \(6\times 3\text{.}\)
Él marca el rectángulo así:
Después, Andre escribe:
\(2 \times (3 \times 3)\)
\(2 \times 9 = 18\)
\(2 \times 9 = 18\)
Elena escribe \(3\times 6\text{.}\)
Ella marca el rectángulo así:
Después, Elena escribe:
\(3 \times (5 + 1)\)
\((3 \times 5) + (3 \times 1)\)
\(15+3\)
\(18\)
\((3 \times 5) + (3 \times 1)\)
\(15+3\)
\(18\)
-
Discute con un compañero:
- ¿En qué se parecen las estrategias de Andre y Elena? ¿En qué son diferentes?
- ¿Cómo se relacionan los números de las expresiones de Andre con su diagrama?
- ¿Cómo se relacionan los números de las expresiones de Elena con su diagrama?
-
Este es otro rectángulo.
Podemos encontrar su área hallando \(4 \times 9\text{.}\)- Marca o colorea el rectángulo de una manera que te ayude a encontrar su área.
- Escribe una o más expresiones que representen lo que hiciste en el diagrama y muestra cómo encontraste el área.
Solución.
-
Ejemplos de respuestas:
-
Se parecen: Ambos descompusieron sus diagramas y escribieron nuevas expresiones.Son diferentes: Escribieron expresiones diferentes al inicio. Andre descompuso su diagrama en dos cuadrados iguales. Escribió nuevas expresiones solo con multiplicación. Elena descompuso su rectángulo en dos rectángulos de diferentes tamaños. Escribió nuevas expresiones con suma y multiplicación.
- Andre: Los números en \(2 \times 3 \times 3\) se refieren a los 2 cuadrados grandes de tamaño 3 por 3. Los números en \(2 \times 9\) se refieren a los 2 cuadrados grandes compuestos de 9 cuadrados unitarios cada uno.
- Elena: El 3 en \(3 \times (5 + 1)\) se refiere al lado más corto de 3 unidades y el \(5 + 1\) se refiere al lado más largo que se descompuso en 5 unidades y 1 unidad. El \(3 \times 5\) y \(3 \times 1\) se refieren al área de los rectángulos más pequeños que creó.
-
-
Ejemplos de respuestas:
- \(4 \times (5 + 4)\) o \((4 \times 5) + (4 \times 4)\text{,}\) que es \(20 + 16\) o 36
- \(2 \times (2\times 9)\) o \(2 \times 18\text{,}\) que es \(18 + 18\) o 36.
Para los estudiantes con dificultades.
Si los estudiantes cuentan de uno en uno para encontrar el área del rectángulo en el segundo problema, considere preguntar:
- “¿Cómo encontraste el área del rectángulo?”
- “¿Cómo puedes usar un producto que ya conoces para encontrar el área del rectángulo? ¿Cómo puedes mostrar tu estrategia en el rectángulo?”
Síntesis de la actividad.
- “¿Qué otras palabras o frases importantes deberíamos incluir en nuestro póster?”
- Al compartir las respuestas de los estudiantes, actualice la presentación agregando (o reemplazando) lenguaje, diagramas o anotaciones.
- Recuerde a los estudiantes que pueden usar lenguaje de la presentación cuando les parezca conveniente.
Subsubsección Actividad 2 (15 mins)
Tiempo recomendado.
15 minutos
Narrativa.
En esta actividad, los estudiantes trabajan con expresiones que representan estrategias para encontrar el área de rectángulos. Las estrategias se basan en la propiedad distributiva y la propiedad asociativa de la multiplicación. Los estudiantes interpretan las expresiones marcando o sombreando diagramas de área y conectan cada expresión con el producto de dos factores (MP2). Por ejemplo, ven que encontrar el valor de \(2 \times (2 \times 6)\) es lo mismo que encontrar el valor de \(4 \times 6\) o \(6 \times 4\text{.}\)
Materiales.
- Copia rayable de la actividad. Una copia para cada estudiante. En el libro de trabajo, o descarga para imprimir
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external/act-pdf/act-deExpresionesADiagramas.pdf - Lápices de colores, crayones o marcadores.
Lanzamiento.
- Grupos de 2
- “Tómense un minuto para leer las instrucciones de la actividad. Después, hablen con su compañero sobre lo que se les pide que hagan”.
- 1 minuto: tiempo para pensar en silencio
- 1 minuto: discusión con el compañero
- Responda cualquier pregunta de aclaración de los estudiantes.
- Dé acceso a los estudiantes a lápices de colores, crayones o marcadores.
Desarrollo de la actividad.
- “Marquen o coloreen cada diagrama para representar cómo encontró el área cada estudiante”
- 3–5 minutos: tiempo de trabajo independiente
- “Compartan con su compañero cómo usaron los rectángulos para mostrar cada expresión”
- 3–5 minutos: discusión en pareja
Actividad 42. De expresiones a diagramas.
Noah
\begin{equation*}
(5\times 3)+(2 \times 3)
\end{equation*}
Priya
\begin{equation*}
2 \times (2 \times 6)
\end{equation*}
Tyler
\begin{equation*}
(5 \times 8) + (3 \times 8)
\end{equation*}
En cada rectángulo:
- Escribe los dos factores que se pueden multiplicar para encontrar su área.
- Marca o colorea cada rectángulo para mostrar la manera en la que cada estudiante vio el área. Prepárate para explicar tu razonamiento.
Solución.
Noah
- \(3\times 7\) o \(7\times 3\)
Priya
- \(4\times 6\) o \(6\times 4\)
Tyler
- \(\displaystyle 8\times 8\)
Síntesis de la actividad.
- “¿Cuáles son los dos factores que pueden multiplicar para encontrar el área del rectángulo de Noah?” (7 y 3)
- “¿Cómo se relacionan esos números con la expresión que él escribió: \((5\times 3)+(2 \times 3)\text{?}\)” (\(7 \times 3\) es 21. Encontrar \(5\times3\text{,}\) que es 15, y luego sumarle \(2\times3\text{,}\) que es 6, también da 21).
- “¿En qué parte de su expresión ven los dos factores?” (El 7 es la combinación de 5 y 2. El 3 está en \(5 \times 3\) y en \(2 \times 3\)).
- Repita la secuencia de preguntas con el rectángulo y la expresión de Priya.
Desarrollo de lenguaje matemático.
MLR8 Apoyos a la Discusión: En la síntesis cree una presentación visual de los diagramas. A medida que los estudiantes comparten sus estrategias, marque la presentación para representar las conexiones. Por ejemplo, dibuje el área que corresponde a 5 columnas de 3, y escriba \(5\times 3\text{.}\)
Acceso a estudiantes con discapacidades.
Participación: Proporcione acceso al despertar interés. Aproveche que es posible elegir. Invite a los estudiantes a que seleccionen al menos 2 de los 3 problemas, basándose en qué tan retadores los perciben.
Apoya la accesibilidad para: Organización, Atención, Habilidades Socioemocionales
Subsubsección Síntesis de la lección (10 mins)
“Hoy usamos diagramas para encontrar el área de varios rectángulos. Descompusimos los rectángulos de distintas maneras y escribimos expresiones diferentes”
“¿Cuáles fueron algunas estrategias para descomponer los rectángulos y así encontrar sus áreas?” (Partir un lado en partes más pequeñas y encontrar el área de rectángulos más pequeños dentro del original. Partir el rectángulo en dos mitades, encontrar el área de cada mitad y luego duplicarla).
“¿Cómo nos podrían ayudar estas estrategias a multiplicar dos números?” (Muestran que podemos descomponer uno de los números, multiplicar los números más pequeños y luego combinar los resultados. Usar diagramas y escribir expresiones puede ayudarnos a ver y registrar las partes).
Preguntas de comprensión Actividad de cierre (5 mins)
Descargar pdf para imprimir o proyectar66
external/cool-pdf/cool-marcaPartesParaEncontrarArea.pdfActividad de cierre 43. Marca o colorea partes para encontrar el área.
El área de este rectángulo se puede encontrar hallando \(6 \times 7\text{.}\)
- Marca o colorea el rectángulo para mostrar que podemos escribir \(2 \times (3 \times 7)\) o \((6 \times 5) + (6 \times 2)\) para encontrar su área.
- ¿Cuál es el valor de \(6 \times 7\text{?}\) Explica o muestra tu razonamiento.
Solución.
- Ejemplos de respuestas:
- 42. Sé que \(6 \times 5\) es 30 y \(6 \times 2\) es 12, y \(30 + 12 = 42\text{.}\)
Posibles errores.
Los estudiantes encuentran el número total de cuadrados en los rectángulos, pero no marcan ni sombrean el rectángulo para representar una de las expresiones dadas.
Acciones para apoyar el aprendizaje.
Antes de la actividad de calentamiento, reparta esta actividad de cierre y pida a los estudiantes que discutan cómo podrían representar cada una de las expresiones dadas marcando o sombreando partes del área rectangular.
